Sistemas Numéricos

Sistemas Numéricos 

En casi todas las áreas de la matemática se deben manipular expresiones que involucran números reales y complejos, por lo tanto se debe tener muy clara su estructura y las operaciones definidas sobre los sistemas numéricos.

Vamos a definir los conjuntos 

Números Naturales

A cada elemento del siguiente conjunto 

$\mathbb{N}=\left\{ 1,2,3,...\right\}$

se le llama número natural, es decir son los números de contar.
Algunos autores consideran el "cero" también como un número natural.

Números Enteros

A cada elemento del siguiente conjunto 

$\mathbb{Z}=\left\{ ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\right\}$

se le llama número entero, se puede entender como la unión de tres subconjuntos:

Naturales negativos $\cup$ $\{0\}$ $\cup$ Naturales

Números Racionales

A cada elemento del siguiente conjunto 

$\mathbb{Q}=\left\{ \frac{m}{n}:m,n \in \mathbb{Z}, \quad n \neq 0 \right\}$

se le llama número racional, es el conjunto formado por todos los posibles cocientes de números enteros, teniendo en cuenta que no se puede dividir por cero.
Una definición equivalente es que un número racional es aquel cuya expansión decimal es periódica

$\frac{1}{3}=0.33333...   \quad    \frac{7}{2}=3.5   \quad   0.123123123123...$

Números Irracionales

Se dice que un numero es irracional si no es posible escribirlo como el cociente de dos números enteros, equivalentemente si su expansión decimal es no periódica,

$\mathbb{Q}^c=\{  x:\quad x \notin  \mathbb{Q} \}$

es decir los números que NO son racionales.

$\pi \approx 3.1415.... \quad  e \approx 2.7182...   \quad     \sqrt{2} \approx 1.4142....$

Números Reales

$\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}^c$

Todo número natural es entero y todo número entero es racional, y la unión de los números racionales y su complemento los irracionales forma el conjunto de los números reales.

Números Complejos

$\mathbb{C}=\{ a+ib : \quad  a,b\in \mathbb{R}\}$

Todo número complejo esta formado por una pareja de numeros reales, la unidad imaginaria resulta de tratar de  resolver la ecuación $x^2+1=0$ la  cual no tiene solución en $\mathbb{R}$, si nos imaginamos que $i$ es la solución de esta ecuación tendriamos lo siguiente:

$i^2+1=0  \Longleftrightarrow i^2=-1 \Longleftrightarrow i=\sqrt{-1}$

El cual no  es un numero real.